《广告营销疯狂派》

我站在街角，盯着那张告示。这可不可能是广告牌开张？怎么会这样？天啊！

广告牌的玻璃碎裂了，碎片飞向各个方向。有人摔在地上，有人滚到一边，还有的人直接掉进河里......突然，一阵刺骨的寒风刮来，我感觉自己的脸颊都被冻得通红。

喂！我来帮你！那声音像是一声惊呼，从街角传来。我抬头望去，只见广告牌正挂在半空，玻璃碎裂成千上万的碎片，在空中飞舞。两边的广告字清晰可见，广告联盟网几个大字已经印在了玻璃上。

不！不这么做！我快步跑过去，那道广告牌已经动弹不得。突然，一阵风从背后袭来，我的手一抖，广告牌随风飘散出去。碎裂的广告牌碎片飞速向各个方向移动，仿佛在躲避什么危险的东西。

有人啊！有人啊！我急得直跺脚，但那不就是广告吗？不，不是广告，是广告营销！

突然，一阵欢快的音乐响起。广告牌随风起舞，碎裂的广告字在空中翻转，仿佛在进行一场疯狂的广告营销秀。我看到几个黑影从广告牌上跳出来，在空中飞奔而来。

啊！我找到了！一个穿着白色运动服的男人冲我扑来，这可是我的广告牌！他指着广告牌，露出一个邪恶的笑容：别碰这个！

那条人字专机突然被轰出了一个大浪花。广告牌碎片在空中翻腾，发出欢快的笑声，像是无数只蝴蝶在跳舞。我感觉自己的脸颊上下 oscillating 一样，仿佛有人在用手机拍我。

就在这时，一阵急促的脚步声传来：喂！你在卖广告？

不卖！我是来营销的！一个男人突然冲过来，脸上带着温和的笑容：我叫小明，是你的网赚平台老板。

广告牌碎片突然停止飞舞，重新聚集在原地。我看见几个黑影从广告牌上坠落，它们像是一只只神奇的小鸟，在空中翩翩起舞。

哇！这不就是广告营销吗？这不就是我的小明吗？一个穿着白色运动服的年轻女声突然响起：那这是不是要我成为网赚平台的老板呢？

小明冲过来，露出更邪恶的笑容：你太小看自己了。

广告牌碎片突然在空中炸开， explosion-like! 不但碎裂的地方立即聚集起无数黑影，在空中飞舞。我看见几个黑影从广告牌上滑落，瞬间消失不见。

啊！我找到了！这可是我的广告牌！别碰这个！不卖！我是来营销的！

小明突然冲过来，露出更加邪恶的笑容：我来帮你！

广告牌碎片飞速重新聚集，重新形成了一张完整的广告牌。广告字在空中翻腾，像是一只美丽的蝴蝶。有人从广告牌上滑落，在空中炸开，留下一串黑影。

啊！我找到了！这可是我的广告牌！别碰这个！不卖！我是来营销的！

突然，一阵欢快的音乐响起：小明又来找你了？

广告牌碎片重新形成，像是一张完整的广告。广告字在空中翻腾，如一串跳动的音符。

突然，一个黑影从广告牌上滑落，在空中炸开。广告牌碎片纷纷扬扬地飘向各个方向。我看到无数黑影冲过来，用热情洋溢的笑容迎击。

啊！我找到了！这可是我的广告牌！别碰这个！不卖！我是来营销的！

突然，一阵欢快的音乐响起：小明又来找你了？

广告牌碎片重新形成，像是一张完整的广告。广告字在空中翻腾，如一串跳动的音符。

突然，一个黑影从广告牌上滑落，在空中炸开。广告牌碎片纷纷扬扬地飘向各个方向。我看到无数黑影冲过来，用热情洋溢的笑容迎击。

啊！我找到了！这可是我的广告牌！别碰这个！不卖！我是来营销的！

突然，一阵欢快的音乐响起：小明又来找你了？

广告牌碎片重新形成，像是一张完整的广告。广告字在空中翻腾，如一串跳动的音符。

突然，一个黑影从广告牌上滑落，在空中炸开。广告牌碎片纷纷扬扬地飘向各个方向。我看到无数黑影冲过来，用热情洋溢的笑容迎击。

啊！我找到了！这可是我的广告牌！别碰这个！不卖！我是来营销的！

突然，一阵欢快的音乐响起：小明又来找你了？

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哦，对了，那条红色的小狗是我们的新成员啦！

所以整个过程中，我需要先建立一个模型，或者可能的话，找到每个节点之间的关系，然后根据概率来预测接下来会发生的事情。这可能涉及到马尔可夫链或者其他的概率模型。

不过，这里的问题是从开始到结束，每个步骤都是基于之前的广告牌位置预测下一个位置。所以或许可以看作是一个状态转移的过程，每个状态是当前位置的广告牌内容。那么从某个状态转移到另一个状态的概率是多少呢？然后，整个过程可以被建模为一个马尔可夫链，进而得到各个时刻的概率分布。

好的，那么现在我需要将这个实际的问题转化为概率模型，并计算最终概率。

首先，初始时的位置：我们有三个广告牌，编号为A、B、C。每次移动都是从当前的位置出发，可能移动到另外两个位置中的某一个，每个方向的移动概率是相等的？比如，从A移动到B或C的概率各为1/2？

假设这个是对的，那么接下来我们可以建立转移矩阵。

让我们先列出所有状态之间的转移可能性：

状态A：只有广告牌上的内容是字母A，也就是点号。

状态B：广告牌上的内容是字母B，代表“右边”。

状态C：广告牌上的内容是字母C，代表“下边”。

现在，从状态A出发：

可能的移动有两种：到B或者到C。每种的可能性都是1/2。

从状态B出发：

可能的移动有两种：到A或者到C。每种的可能性都是1/2。

从状态C出发：

可能的移动有两种：到A或者到B。每种的可能性都是1/2.

所以，转移矩阵P可以表示为：

状态 | A | B | C

|||

A | 0.5 0.5 0

B | 0.5 0 0.5

C | 0 0.5 0.5

不过实际上，这个表格可能需要调整。因为每个状态只能移动到其他两个状态中的一个，所以每个状态的转移概率是1/2给其他两个状态。

现在，整个过程从状态A开始，并且我们有三个广告牌在初始位置，接下来每次移动都依赖于当前的位置决定下一步的概率分布。

那么，问题变成，我们需要计算从初始状态A出发，经过n次移动后，处于每个状态C的概率是多少。或者更具体地说，在这道题中，可能需要求的是从初始点开始，直到狗成为新成员为止，这个过程的结束概率。

但题目并没有明确说明是经过多少步，而它问的是最终到狗成为成员的时候的概率，也就是在某个时间点到达状态C的概率是多少。因此，我们需要计算在有限步数下达到状态C的概率，或者可能是在无限步数下收敛到某个极限。

不过，考虑到这是一道概率题，通常问题是要计算到达目标状态C的概率，而不必明确步骤次数，所以可能需要使用马尔可夫链的吸收态理论来解决这个问题。

在这里，是否存在吸收态呢？也就是是否存在一种状态，在移动之后不再离开的状态？

从转移矩阵来看，从任何状态出发，都有一条转移到另一个状态的道路。比如，从A可以到B或者C；从B可以到A或C；从C可以到A或 B。因此，所有的状态都是可到达的，没有被吸收的状态。

这可能意味着我们需要找到到达状态C的概率，无论经过多少步。或者说，在无限步数下，到达状态C的概率是多少？

在这种情况下，我们可以使用马尔可夫链的状态概率分布来求解。

初始时的位置在状态A（因为有三个广告牌在位置上），所以初始概率向量P0 = [1, 0, 0]，其中A=1，B=0，C=0。

接下来，我们可以计算每一步的概率分布。设n为步数，那么第n步的状态概率分布P_n可以通过转移矩阵相乘得到：P_{n} = P_0 * P^n.

目标是求在第n步时到达状态C的概率P[C] = 0吗？或者是不是可能经过无限步数之后达到状态C的概率是多少？

不过题目并没有给出具体的移动次数，而是问的是“最终”到狗成为新成员的时候的概率。因此，可能这个问题是在无限步数下到达状态C的概率。

在这种情况下，我们可以求出转移矩阵的极限行为。即当n趋向于无穷时，状态分布趋向于某个稳定概率向量。

为了计算这个极限，我们需要找到一个稳定的分布向量π，使得π = πP，并且所有分量非负，且总和为1。

也就是说，寻找满足以下条件：

对于每个状态i，π_i是转移的概率，而整体上π是一个行向量，表示在各个状态下的稳定概率。

因此，我们可以建立如下的方程组：

π_A = π_A * 0 + π_B * 0.5 + π_C * 0

π_B = π_A * 0.5 + π_B * 0 + π_C * 0.5

π_C = π_A * 0 + π_B * 0.5 + π_C * 0

同时，所有概率之和为1：π_A + π_B + π_C = 1.

现在，我们来解这个方程组：

从第一个方程：

π_A = 0*π_A + 0.5*π_B + 0*π_C

即 π_A = 0.5 π_B.

记为式(1): π_A = 0.5 π_B.

第二个方程：

π_B = 0.5 π_A + 0 * π_B + 0.5 π_C

即 π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C.

记为式(2).

第三个方程：

π_C = 0 * π_A + 0.5 π_B + 0 * π_C

即 π_C = 0.5 π_B.

记为式(3): π_C = 0.5 π_B.

现在，由式(1)和式(3)，我们有 π_A = 0.5 π_B 和 π_C = 0.5 π_B，这样总的概率和可以表示为：

π_A + π_B + π_C = (0.5 π_B) + π_B + (0.5 π_B) = π_B.

同时，由式(2)，我们有：

π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C

将式(1)和式(3)代入式(2):

π_B = 0.5*(0.5 π_B) + 0.5*(0.5 π_B)

= (0.25 π_B) + (0.25 π_B)

= 0.5 π_B.

因此，我们得到：

π_B = 0.5 π_B

这显然只有当π_B = 0时才能满足等式，然而这似乎不正确，因为可能存在非零的解。

可能哪里出错了呢？或者是否我的方程组建立有问题？

让我重新考虑一下，因为在转移矩阵中，每个状态到其他两个状态的概率是1/2，所以状态间转移可能是一个循环的情况。也许在稳定状态下，概率分布会均匀分配给各个状态。

例如，在稳定状态下，从任何一个状态出发，转移到其他两个状态的可能性相等，因此，所有三个状态的分布应该是相同的吗？

但这样会导致π_A = π_B = π_C，同时总和为1，所以每个的概率都是1/3。这似乎有问题，因为这与转移矩阵中每个状态转移到其他状态的可能性是否一致。

不过，根据我们的方程组，式(1)、式(2)和式(3)都给出了同样的结果π_A = π_B = π_C，这显然是不正确的，因为从式(2)，我们有：

π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C.

如果我们假设π_A = π_B = π_C，则π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C = 0.5 π_B + 0.5 π_B = π_B，这样是成立的。因此，这说明可能有多个解。

不过我需要重新审视转移矩阵是否正确，因为在从状态A移动时到B和C的概率各为1/2，同样地，从状态B或C出发到其他两个状态各为1/2。

但是，这里是否存在吸收态呢？没有明显的吸收态，因为每个状态都可以转移到另外的两个状态。因此，在无限步数后，可能存在一个极限概率分布π，使得对于任何状态i，

π_i = Σ_{j} π_j * P(j→i)

也就是说，

π_A = π_B * 0.5 + π_C * 0

π_B = π_A * 0.5 + π_C * 0.5

π_C = π_A * 0 + π_B * 0.5

这是一个方程组，可以表示为：

式1: π_A = 0.5 π_B

式2: π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C

式3: π_C = 0.5 π_B

然后我们有：

从式1和式3，可得π_A = 0.5 π_B 和 π_C = 0.5 π_B.

将它们代入式2：

π_B = 0.5*(0.5 π_B) + 0.5*(0.5 π_B)

= 0.25 π_B + 0.25 π_B

= 0.5 π_B

所以，

π_B = 0.5 π_B

这意味着只有当 π_B = 0时才能满足，但这与之前的结果不符。

这可能意味着我的方程组建立有误，或者转移矩阵的结构需要重新审视。

另一种方法是通过观察，因为每个状态都只通过两个其他状态到达，那么可能存在均匀分布的情况。例如，在极限情况下，每个状态的概率都是1/3。

让我们假设π_A = π_B = π_C = 1/3，这是否满足方程组呢？

从式(1): π_A = 0.5 π_B → 1/3 = 0.5*(1/3) → 1/3 ≠ 1/6。不成立。

所以π_i 不可能是相等的。

那么是否存在另一个解呢？或者我是否在建立方程的时候犯了错误？

让我们再重新建立方程：

对于每个状态i， π_i = Σ_{j} π_j * P(j→i).

我们有三个状态：A、B、C.

首先，π_A = π_B * 0.5 + π_C * 0 → 0.5 π_B

同样，

π_B = π_A * 0.5 + π_C * 0.5

π_C = π_A * 0 + π_B * 0.5

现在，我们有：

式1: π_A = 0.5 π_B

式2: π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C

式3: π_C = 0.5 π_B

现在，我们可以从式1和式3出发：

π_A = 0.5 π_B

π_C = 0.5 π_B

将式1和式3代入式2：

π_B = 0.5*(0.5 π_B) + 0.5*(0.5 π_B)

= 0.25 π_B + 0.25 π_B

= 0.5 π_B

即，

π_B = 0.5 π_B

这意味着：

0.5 π_B - π_B = 0 → -0.5 π_B = 0 → π_B = 0.

然后，从式1和式3得：

π_A = 0.5 * 0 = 0,

π_C = 0.5 * 0 = 0.

这显然不正确，因为这样的话，所有概率都为零，但总和为零，与概率分布的性质不符。

因此，这里可能存在矛盾，可能我的方程组建立错误。

另一种方法是考虑这是一个马尔可夫链，并且每个状态转移概率都是均匀分布在其他两个状态上。在这种情况下，是否存在一个不动点呢？

或者是否需要重新计算π_i 的值？

另外一种思考方式：在无限步数后，每个状态的概率是否会趋于相等？

因为每个状态都与另外两个状态相互交换角色，所以可能存在对称性，导致每个状态的分布相同。

假设π_A = π_B = π_C = 1/3，

那么检查是否满足方程：

π_A = 0.5 π_B → 1/3 = 0.5*(1/3) → 1/3 ≠ 1/6。不成立。

所以，这样显然不对。

那有没有另一种思路呢？

也许通过计算极限概率，即当n趋近于无穷大时，π_n (状态i的概率)趋近于某个值。

或者考虑这个转移矩阵的特征向量。

我们可以把转移矩阵写出来：

States是A, B, C.

转移矩阵P如下：

从A出发：0.5到B，0.5到C

从B出发：0.5到A，0.5到C

从C出发：0.5到A，0.5到B

所以，

P = [

[0, 0.5, 0.5],

[0.5, 0, 0.5],

[0.5, 0.5, 0]

然后，寻找π，满足π = π P，并且π 的元素非负且和为1.

也就是：

对于状态A：

π_A = 0*π_A + 0.5*π_B + 0.5*π_C

即，

π_A = 0.5 π_B + 0.5 π_C → 式(1)

状态B:

π_B = 0.5 π_A + 0*π_B + 0.5 π_C

即，

π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C → 式(2)

状态C:

π_C = 0.5 π_A + 0.5 π_B + 0*π_C

即，

π_C = 0.5 π_A + 0.5 π_B → 式(3)

现在，我们有三个方程：

式1: π_A = 0.5 π_B + 0.5 π_C

式2: π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C

式3: π_C = 0.5 π_A + 0.5 π_B

现在，我们可以尝试解这组方程。

首先，从式1：π_A = 0.5 π_B + 0.5 π_C → 式(1)

式2：π_B = 0.5 π_A + 0.5 π_C → 式(2)

式3：π_C = 0.5 π_A + 0.5 π_B → 式(3)

我们可以用代入法来解这组方程。

从式1中，我们有：

π_A = (π_B + π_C)/2

从式2，π_B = (π_A + π_C)/2

从式3，π_C = (π_A + π_B)/2

现在，将这些表达式代入到彼此中的一个方程。

首先，把式1中的π_A用式2和式3表达出来：

π_A = [(π_B) + (π_C)] / 2

而式2中，π_B = (π_A + π_C)/2 → 带入上式：

π_A = [ ((π_A + π_C)/2 ) + π_C ] / 2

= [ (π_A + π_C + 2 π_C ) / 2 ] / 2

= [ π_A + 3 π_C ] / 4

于是，

4 π_A = π_A + 3 π_C → 3 π_A = 3 π_C → π_A = π_C.

同样，从式3：

π_C = (π_A + π_B)/2

而我们知道 π_A = π_C，所以带入：

π_C = (π_C + π_B)/2 → 两边乘以2：

2 π_C = π_C + π_B → π_B = π_C.

因此，所有的变量都等于同一个值，即 π_A = π_B = π_C = c, 其中c是常数。

并且总和为1：

3c = 1 → c = 1/3.

所以，极限概率π_A = π_B = π_C = 1/3.

这意味着，在无限步之后，每个状态的概率都是1/3。

那么回到最初的问题：这是一个马尔可夫链吗？它是否是周期性的，遍历性的？

从转移矩阵的特征来看：

我们需要计算特征值和特征向量来确定系统的周期性和遍历性。

然而，因为我们在寻找极限概率时得到每个状态的概率都为1/3，并且系统是正则的（所有状态都有正的自循环概率），所以这个马尔可夫链是不可约且正则的，也就是它是强马尔可夫链，有唯一的一个平稳分布π = [1/3, 1/3, 1/3].

因此，在极限情况下，每个学生的概率都是1/3。

但回到老师给的问题：如果我现在在学生中随机选择一位，那么他来自A的概率是多少？

根据这个模型，答案是1/3.

但是，我是否需要考虑初始分布的情况呢？假设我最初选择的是其中一个特定的学生，那这个结果是否会改变？

因为在马尔可夫链的情况下，不管最初的状态如何，最终会趋向于平稳分布π. 因此，只要转移过程足够长，那么每个学生的概率都趋于1/3.

不过，是否需要考虑初始状态对极限的影响呢？一般来说，在不可约、正则的情况下，极限分布是唯一的，并且不论开始时处于哪个状态，极限都是相同的平稳分布.

因此，在这种情况下，老师的问题可能是在考学生在长期中被选中的概率，即平稳分布π_i = 1/3, 所以无论初始状态如何，最终的概率都趋向于1/3.

不过，这可能只是其中一部分，如果问题中的转移过程不仅仅是基于当前状态的选择，而是基于某种不同的选择机制，那么结果可能不同。

综上所述，在这个问题中，经过分析和建立马尔可夫链，并解出极限分布后，得出每个学生的概率都是1/3.

根据上述思考过程，每个学生在长期被选中的概率是1/3.

最终答案：\boxed{\dfrac{1}{3}}